이것은 주어진 조건(제약 조건) 안에서 원하는 목표(이익 극대화 또는 비용 최소화)를 이루기 위한 최적의 조합을 찾아내는 수학적 방법입니다.
이를 복잡한 수식이 아니라 우리의 일상이나 비즈니스에 대입해 보면 아주 직관적이고 강력한 무기가 됩니다.
선형계획법은 단순히 "열심히 벌자!"가 아닙니다.
내가 가진 시간, 돈, 인력이라는 한계(제약)를 명확히 선으로 그어두고, 그 안에서 가장 효율적인 황금 비율(최적해)을 찾아내는 기술입니다.
바로 이 제한된 자원을 가지고 어떻게 하면 가장 영리하게 돈을 벌 수 있는지에 대한 '최적화 알고리즘'의 이야기였던 셈입니다.
골목 가게든 대기업이든 간에 경영은 결국 '제약 조건'과 싸우는 일이죠.
경영을 하다 보면 늘 부딪히는 것이 있습니다. 바로 제약 조건입니다.
돈도 부족하고 사람도 부족합니다. 시간은 늘 쫓기고 원자재도 원하는 만큼 확보되지 않습니다. 예산 역시 항상 빠듯합니다.
만약 돈도 넉넉하고 사람도 충분하고 시간까지 마음껏 쓸 수 있다면 굳이 경영자를 둘 이유가 없겠지요. 그런 회사라면 누구라도 운영할 수 있을 것입니다.
결국 경영이란 부족한 조건 속에서 가장 좋은 결과를 만들어 내는 과정입니다.
사람들은 오래전부터 이 문제를 고민했습니다.
"같은 자원으로 하나라도 더 만들 수는 없을까?"
"사람을 더 뽑지 않고 생산성을 높일 방법은 없을까?"
이런 고민이 오늘날 우리가 말하는 최적화(Optimization)라는 개념으로 이어졌습니다.
1939년, 소련의 수학자이자 경제학자인 레오니드 칸토로비치는 바로 이런 문제를 연구하게 됩니다.
당시 한 합판 공장으로부터 의뢰를 받았습니다.
"원목은 부족하고 기계도 한정되어 있습니다. 그런데 생산량은 늘려야 합니다. 어떻게 하는 것이 가장 효율적이겠습니까?"
말은 간단하지만 실제 현장은 그렇지 않았습니다.
기계마다 성능이 달랐습니다. 어떤 기계는 아주 빨랐지만 품질이 거칠었고, 어떤 기계는 속도는 느렸지만 마감이 뛰어났습니다.
게다가 당시 소련은 계획경제 체제였습니다. 정부가 공장마다 생산량과 제품 비율까지 지정해 주었습니다. 원목도 부족했고 작업 시간도 제한되어 있었습니다.
공장장은 매일같이 머리를 싸맸습니다.
"A 기계에 이 제품을 맡기면 빠르긴 한데, 다른 제품 생산 비율을 맞추려면 결국 느린 기계를 돌려야 하는데…. 차라리 처음부터 배치를 바꾸는 편이 낫지 않을까?"
그런데 변수가 너무 많았습니다.
어느 한쪽을 맞추면 다른 쪽이 틀어졌습니다. 기계가 놀기도 하고 원자재가 남기도 했습니다. 정부가 요구한 생산 비율을 맞추지 못하는 경우도 생겼습니다.
칸토로비치는 여기서 생각을 바꿉니다.
"사람 머리로 계산이 안 된다면 아예 수학으로 계산하면 되지 않을까?"
그는 생산 목표를 먼저 정했습니다.
그리고 원목의 양, 기계별 작업 시간, 생산 비율 등을 모두 제약 조건으로 정리했습니다.
그러자 복잡했던 문제가 아주 단순한 질문 하나로 바뀌었습니다.
'이 제약 조건 안에서 생산량을 최대화하려면 어떻게 해야 하는가?'
이것이 바로 선형계획법(Linear Programming)의 시작이었습니다.
새로운 기계를 들여온 것도 아니었습니다.
직원을 더 채용한 것도 아니었습니다.
있는 자원을 가장 효율적으로 배분했을 뿐인데 생산성이 크게 향상되었습니다.
이 이야기를 들으면 자연스럽게 한 사람이 떠오릅니다.
바로 조지 댄직입니다.
댄직에게는 지금도 유명한 일화가 하나 있습니다.
UC 버클리 대학원 시절 어느 날 늦잠을 자는 바람에 예지 네이만 교수의 통계학 수업에 지각했습니다.
허둥지둥 강의실에 들어온 그는 칠판 한쪽에 적혀 있는 수식을 보고 속으로 생각했습니다.
"아, 오늘 숙제구나."
집에 와서 문제를 풀기 시작했는데 생각보다 너무 어려웠습니다.
며칠 동안 씨름한 끝에 겨우 답을 적어 교수 연구실에 슬며시 제출했습니다.
몇 주 뒤 일요일 아침.
누군가 문을 세게 두드렸습니다.
나가 보니 네이만 교수가 서 있었습니다.
교수는 종이를 흔들며 말했습니다.
"자네, 이 문제가 뭔지 알고 푼 건가?"
알고 보니 그것은 숙제가 아니었습니다.
당시 통계학계에서 아직 해결하지 못했던 미해결 문제였습니다.
교수가 나중에 다시 생각해 보려고 칠판 한쪽에 적어 두었던 것이었습니다.
댄직은 훗날 이렇게 회상했습니다.
"처음부터 난제라는 걸 알았다면 저도 시도하지 않았을 겁니다. 저는 그저 조금 어려운 숙제라고 생각했을 뿐입니다."
이 말은 경영에도 그대로 적용됩니다.
우리는 문제가 어렵다고 생각하는 순간 스스로 한계를 만들어 버립니다.
하지만 문제를 잘게 나누고 하나씩 제약 조건을 정리해 보면 의외로 답이 보일 때가 많습니다.
제2차 세계대전 당시 선형계획법(Linear Programming)이 탄생하고 발전하게 된 결정적인 계기가 바로 연합군 공군의 군수물자 보급과 작전 효율화였습니다.
가장 대표적인 인물이 선형계획법의 아버지라 불리는 수학자 조지 댄치그(George Dantzig)의 일화입니다.
100대의 전투기를 전방에 배치하려면 배후에서는 수천 명의 정비사, 수만 톤의 연료, 교체용 엔진, 폭탄, 그리고 식량까지 엄청난 양의 물자가 끊임없이 공급되어야 했죠.
당시 미국 국방부의 계획가들은 이 복잡한 보급 계획을 짜느라 머리가 터질 지경이었습니다.
"훈련소에서 조종사를 몇 명 키워야 하지?"
"연료는 어느 항구로 얼마나 보내야 효율적일까?"
"정비 부품 배치는 어떻게 해야 전투기가 안 굶고 뜰 수 있을까?"
당시에는 이 계획을 전부 수작업으로 짰기 때문에, 수많은 제약 조건을 고려해 겨우 하나를 완성하는 데만 수개월이 걸렸습니다.
문제는 보급 계획을 다 짜고 나면 이미 전황이 바뀌어 있어 쓸모없어지기 일쑤였다는 점입니다.
미 공군 통계 부서에서 일하던 조지 댄치그는 이 문제를 보고 "이건 수학적인 최적화 문제다"라고 직감했습니다.
그는 미 공군이 가진 제약 조건(예산, 수송선 수, 비행기 대수, 훈련 기간 등)을 선형 방정식(일차 방정식)으로 정형화했습니다.
그리고 이 수많은 한계선 안에서 '전투 효율 극대화' 또는 '수송 비용 최소화'라는 목표를 찾아내는 수학적 공식인 '심플렉스법(Simplex Method)'을 1947년에 개발해 냅니다.
이후 선형계획법은 생산관리, 물류, 항공, 금융, 공급망 관리 등 다양한 산업에서 널리 활용되기 시작했습니다.‘
쉽게 말해 이런 계산이었습니다:
"영국 기지에 폭탄 10만 톤을 보낼 때, A 항로로 가면 연료는 아끼지만 잠수함에 당할 확률이 높고, B 항로로 우회하면 안전하지만 시간이 오래 걸린다. 우리가 가진 수송선과 연료 안에서 최단 시간 내에 안전하게 보급할 수 있는 '황금 비율'은 무엇인가?"
선형계획법의 도입으로 연합군은 과거 수개월씩 걸리던 복잡한 군수 보급 및 병력 배치 계획을 단 며칠 만에, 그것도 가장 비용이 적게 들고 효율적인 정답(최적해)으로 찾아낼 수 있게 되었습니다.
당시 미군이 독일군보다 무기 제조 기술이 압도적으로 뛰어나서 이긴 것만은 아닙니다.
"필요한 곳에, 필요한 물자를, 가장 굶주리지 않게 최적의 타이밍으로 쏟아붓는 능력"에서 선형계획법을 장착한 연합군이 완승을 거둔 것입니다.
"술 한잔 먹고 배우는 돈 버는 법"의 원리가, 당시에는 "국가의 사활과 수많은 목숨이 걸린 보급 전쟁을 승리로 이끈 치트키"였던 셈이지요.
결국 선형계획법은 단순한 수학 공식이 아니죠.
“부족한 자원을 어떻게 배분해야 가장 큰 성과를 얻을 수 있는가?”
그 질문에 답하기 위해 만들어진 사고방식입니다.
생각해 보면 경영도 마찬가지죠.
경영은 풍족함 속에서 이루어지는 것이 아닙니다. 늘 부족한 조건 속에서 가장 좋은 해답을 찾아가는 과정이죠.
그래서 저는 경영을 한마디로 이렇게 표현하고 싶죠.
경영은 '제약 조건'을 관리하는 기술이다.